基本的には個人データや検索したカード名を拡張が能動的に保存することはありません。
しかし、拡張内で利用している Scryfall は統計情報やクッキーの保存を行うことがあります。
詳しくは Scryfall の「Privacy and Security」ページをご覧ください

https://scryfall.com/docs/privacy