Здравствуйте!

Перед тем как писать, попробуйте, для начала, почитать требования браузера для использования API Proxy.
Когда вы их прочитаете, то вы увидите что требование для приватных окон - это обязательное условие для любого прокси. И да, если вы не дадите разрешение на использование - расширение работать не будет.

Вы можете писать напрямую в Mozilla чтобы получить разъяснения почему приватный доступ обязателен. Это единственный браузер, который требует такие условия.